Esperanza condicional y predicción

La esperanza condicional es el promedio de una variable cuando ya se conoce el valor de otra. Se escribe con una barra vertical y se lee como la esperanza de la primera dado que la segunda vale tal cosa.

Lo que la hace distinta de la esperanza común es que no es un número: es una función del valor que tomó la variable condicionante. Cada valor de la segunda da un promedio distinto para la primera.

Su importancia práctica es que resuelve el problema de predicción. Si hay que predecir una variable a partir de otra y el criterio es minimizar el error cuadrático medio, el mejor predictor posible es exactamente la esperanza condicional. No hay ninguna función que prediga mejor.

Cuando se restringe la búsqueda a funciones lineales, el mejor predictor es la recta de regresión que ya conocés. Si las dos variables son normales, esa recta coincide con la esperanza condicional, y por eso la regresión funciona tan bien en ese caso.

Hay una propiedad muy usada: la esperanza de la esperanza condicional devuelve la esperanza común. Se llama ley de la esperanza total y sirve para calcular esperanzas difíciles partiéndolas en casos.

Si las variables son independientes, condicionar no aporta nada y la esperanza condicional es simplemente la común.

E[X] = E\big[E[X \mid Y]\big]

Cuándo se usa

Cuando hay que predecir una variable a partir de otra minimizando el error cuadrático: la esperanza condicional es el mejor predictor posible. Para calcular una esperanza en dos etapas, usá la propiedad de la esperanza total.

Ejemplo 1

Una moneda decide si se tira un dado de $6$ caras o uno de $4$ . Hallar la esperanza del resultado.

Calculamos la esperanza condicional en cada caso. Con el dado de $6$ es $3{,}5$ y con el de $4$ es $2{,}5$ .
Identificamos las probabilidades de cada caso. Son $\frac{1}{2}$ cada una.
Aplicamos la ley de la esperanza total. Promediamos las condicionales con esos pesos.
Calculamos. Da $\frac{3{,}5 + 2{,}5}{2} = 3$ .
Respuesta: $E[X] = 3$

Ejemplo 2

Si $X$ e $Y$ son independientes y $E[X] = 7$ , hallar la esperanza de $X$ dado que $Y = 2$ .

Usamos la independencia. Conocer el valor de $Y$ no aporta información sobre $X$ .
Concluimos que la esperanza condicional coincide con la común.
Respuesta: $7$

Error típico

Tratarla como un número. Es una función de la variable condicionante y cambia con cada valor que esa variable tome.

Practicar

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