Ejercicios: Procesos de Poisson y la distribución Gamma

2. Ajustamos el parámetro al intervalo. $\lambda t = 6 \cdot \dfrac{1}{3} = 2$ fallas esperadas en ese intervalo. Ese ajuste es el paso donde más se falla: la tasa viene por unidad de tiempo y el intervalo puede ser otro.

3. Aplicamos la fórmula. $P(N = 3) = \dfrac{e^{-2} \cdot 2^{3}}{3!}$

4. Calculamos. $P(N = 3) = 0{,}1804$

5. Verificamos con la esperanza. $E(N) = \lambda t = 2$, y $3$ está cerca de ese valor, así que la probabilidad es de las más altas.

6. Lo que define al proceso. Los eventos ocurren al azar, sin acumularse ni evitarse, y la cantidad esperada crece proporcionalmente al largo del intervalo.

Respuesta: $P(N = 3) = 0{,}1804$, con $\lambda t = 2$

2. Escribimos la distribución del tiempo hasta el primer evento. $T_1 \sim \text{Exponencial}(\lambda)$, que es el caso $k = 1$ de la Gamma.

3. Traducimos el suceso. $T_1 > t$ significa que en el intervalo $[0; t]$ no ocurrió ningún evento, o sea $N(t) = 0$.

4. Calculamos por las dos vías. Con la Poisson: $P(N = 0) = e^{-\lambda t} = e^{-0{,}75} = 0{,}4724$. Con la exponencial: $P(T_1 > t) = e^{-\lambda t} = 0{,}4724$. Coinciden, como tenía que pasar.

5. Calculamos también la espera media. $E(T_1) = \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}3333$ minuto.

6. La regla que deja el ejercicio. Contar eventos da Poisson; esperar tiempos da exponencial o Gamma. Las dos descripciones son del mismo proceso y tienen que dar resultados coherentes.

Respuesta: $P(T_1 > \dfrac{1}{4}) = 0{,}4724$

2. Calculamos la esperanza. $E(T_k) = \dfrac{k}{\lambda} = \dfrac{5}{7} \approx 0{,}7143$ hora. Es $5$ veces la espera media de un solo evento, como corresponde a una suma.

3. Calculamos la varianza. $V(T_k) = \dfrac{k}{\lambda^{2}} = \dfrac{5}{49} \approx 0{,}102$, y el desvío es $\sqrt{0{,}102} \approx 0{,}3194$ hora.

4. Verificamos el caso particular. Con $k = 1$ la Gamma se reduce a la exponencial: $E = \dfrac{1}{7}$ y $V = \dfrac{1}{49}$.

5. Comparamos la dispersión relativa. El coeficiente de variación es $\dfrac{\sqrt{k} / \lambda}{k / \lambda} = \dfrac{1}{\sqrt{k}} = 0{,}4472$: cuantos más eventos se esperan, más predecible es el tiempo total en términos relativos.

6. La conexión con la Poisson. $T_k > t$ es lo mismo que $N(t) < k$: esperar mucho al evento $k$ equivale a que en ese intervalo hayan ocurrido pocos eventos.

Respuesta: $T_{5} \sim \text{Gamma}(5; 7)$, con $E = 0{,}7143$ y $\sigma = 0{,}3194$ hora

2. Analizamos el enunciado. Acá se cuentan eventos en un intervalo fijo.

3. Elegimos. Corresponde una Poisson, con parámetro $\lambda t$.

4. Ajustamos el parámetro si hace falta. En el caso Poisson el parámetro es $\lambda t$, con $t$ en las mismas unidades que la tasa. Con $\lambda = 6$ por hora y un intervalo de media hora, sería $3$.

5. Verificamos la coherencia entre las dos descripciones. $T_1 > t$ y $N(t) = 0$ son el mismo suceso, así que las dos distribuciones tienen que dar la misma probabilidad. Si dieran distinto, hay un error de unidades.

6. La idea que unifica el tema. Es un solo proceso descripto de dos maneras: por la cantidad de eventos o por los tiempos entre ellos. La pregunta define cuál conviene usar.

Respuesta: Corresponde una Poisson, con parámetro $\lambda t$: se cuentan eventos en un intervalo fijo

2. Ajustamos el parámetro al intervalo. $\lambda t = 4 \cdot \dfrac{3}{2} = 6$ llamadas esperadas en ese intervalo. Ese ajuste es el paso donde más se falla: la tasa viene por unidad de tiempo y el intervalo puede ser otro.

3. Aplicamos la fórmula. $P(N = 0) = \dfrac{e^{-6} \cdot 6^{0}}{0!}$

4. Calculamos. $P(N = 0) = 0{,}0025$

5. Verificamos con la esperanza. $E(N) = \lambda t = 6$, y $0$ está lejos de ese valor, así que la probabilidad es baja.

6. Lo que define al proceso. Los eventos ocurren al azar, sin acumularse ni evitarse, y la cantidad esperada crece proporcionalmente al largo del intervalo.

Respuesta: $P(N = 0) = 0{,}0025$, con $\lambda t = 6$

2. Escribimos la distribución del tiempo hasta el primer evento. $T_1 \sim \text{Exponencial}(\lambda)$, que es el caso $k = 1$ de la Gamma.

3. Traducimos el suceso. $T_1 > t$ significa que en el intervalo $[0; t]$ no ocurrió ningún evento, o sea $N(t) = 0$.

4. Calculamos por las dos vías. Con la Poisson: $P(N = 0) = e^{-\lambda t} = e^{-2{,}25} = 0{,}1054$. Con la exponencial: $P(T_1 > t) = e^{-\lambda t} = 0{,}1054$. Coinciden, como tenía que pasar.

5. Calculamos también la espera media. $E(T_1) = \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{9} \approx 0{,}1111$ hora.

6. La regla que deja el ejercicio. Contar eventos da Poisson; esperar tiempos da exponencial o Gamma. Las dos descripciones son del mismo proceso y tienen que dar resultados coherentes.

Respuesta: $P(T_1 > \dfrac{1}{4}) = 0{,}1054$

2. Calculamos la esperanza. $E(T_k) = \dfrac{k}{\lambda} = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}6667$ hora. Es $2$ veces la espera media de un solo evento, como corresponde a una suma.

3. Calculamos la varianza. $V(T_k) = \dfrac{k}{\lambda^{2}} = \dfrac{2}{9} \approx 0{,}2222$, y el desvío es $\sqrt{0{,}2222} \approx 0{,}4714$ hora.

4. Verificamos el caso particular. Con $k = 1$ la Gamma se reduce a la exponencial: $E = \dfrac{1}{3}$ y $V = \dfrac{1}{9}$.

5. Comparamos la dispersión relativa. El coeficiente de variación es $\dfrac{\sqrt{k} / \lambda}{k / \lambda} = \dfrac{1}{\sqrt{k}} = 0{,}7071$: cuantos más eventos se esperan, más predecible es el tiempo total en términos relativos.

6. La conexión con la Poisson. $T_k > t$ es lo mismo que $N(t) < k$: esperar mucho al evento $k$ equivale a que en ese intervalo hayan ocurrido pocos eventos.

Respuesta: $T_{2} \sim \text{Gamma}(2; 3)$, con $E = 0{,}6667$ y $\sigma = 0{,}4714$ hora

2. Analizamos el enunciado. Acá se mide un tiempo de espera hasta el primer evento.

3. Elegimos. Corresponde una exponencial, de parámetro $\lambda$.

4. Ajustamos el parámetro si hace falta. En el caso Poisson el parámetro es $\lambda t$, con $t$ en las mismas unidades que la tasa. Con $\lambda = 8$ por hora y un intervalo de media hora, sería $4$.

5. Verificamos la coherencia entre las dos descripciones. $T_1 > t$ y $N(t) = 0$ son el mismo suceso, así que las dos distribuciones tienen que dar la misma probabilidad. Si dieran distinto, hay un error de unidades.

6. La idea que unifica el tema. Es un solo proceso descripto de dos maneras: por la cantidad de eventos o por los tiempos entre ellos. La pregunta define cuál conviene usar.

Respuesta: Corresponde una exponencial, de parámetro $\lambda$: se mide un tiempo de espera hasta el primer evento

2. Ajustamos el parámetro al intervalo. $\lambda t = 4 \cdot 2 = 8$ partículas esperadas en ese intervalo. Ese ajuste es el paso donde más se falla: la tasa viene por unidad de tiempo y el intervalo puede ser otro.

3. Aplicamos la fórmula. $P(N = 3) = \dfrac{e^{-8} \cdot 8^{3}}{3!}$

4. Calculamos. $P(N = 3) = 0{,}0286$

5. Verificamos con la esperanza. $E(N) = \lambda t = 8$, y $3$ está lejos de ese valor, así que la probabilidad es baja.

6. Lo que define al proceso. Los eventos ocurren al azar, sin acumularse ni evitarse, y la cantidad esperada crece proporcionalmente al largo del intervalo.

Respuesta: $P(N = 3) = 0{,}0286$, con $\lambda t = 8$

2. Escribimos la distribución del tiempo hasta el primer evento. $T_1 \sim \text{Exponencial}(\lambda)$, que es el caso $k = 1$ de la Gamma.

3. Traducimos el suceso. $T_1 > t$ significa que en el intervalo $[0; t]$ no ocurrió ningún evento, o sea $N(t) = 0$.

4. Calculamos por las dos vías. Con la Poisson: $P(N = 0) = e^{-\lambda t} = e^{-7} = 0{,}0009$. Con la exponencial: $P(T_1 > t) = e^{-\lambda t} = 0{,}0009$. Coinciden, como tenía que pasar.

5. Calculamos también la espera media. $E(T_1) = \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{7} \approx 0{,}1429$ día.

6. La regla que deja el ejercicio. Contar eventos da Poisson; esperar tiempos da exponencial o Gamma. Las dos descripciones son del mismo proceso y tienen que dar resultados coherentes.

Respuesta: $P(T_1 > 1) = 0{,}0009$

2. Calculamos la esperanza. $E(T_k) = \dfrac{k}{\lambda} = \dfrac{3}{3} = 1$ minuto. Es $3$ veces la espera media de un solo evento, como corresponde a una suma.

3. Calculamos la varianza. $V(T_k) = \dfrac{k}{\lambda^{2}} = \dfrac{3}{9} \approx 0{,}3333$, y el desvío es $\sqrt{0{,}3333} \approx 0{,}5774$ minuto.

4. Verificamos el caso particular. Con $k = 1$ la Gamma se reduce a la exponencial: $E = \dfrac{1}{3}$ y $V = \dfrac{1}{9}$.

5. Comparamos la dispersión relativa. El coeficiente de variación es $\dfrac{\sqrt{k} / \lambda}{k / \lambda} = \dfrac{1}{\sqrt{k}} = 0{,}5774$: cuantos más eventos se esperan, más predecible es el tiempo total en términos relativos.

6. La conexión con la Poisson. $T_k > t$ es lo mismo que $N(t) < k$: esperar mucho al evento $k$ equivale a que en ese intervalo hayan ocurrido pocos eventos.

Respuesta: $T_{3} \sim \text{Gamma}(3; 3)$, con $E = 1$ y $\sigma = 0{,}5774$ minuto

2. Analizamos el enunciado. Acá se mide el tiempo acumulado hasta el evento número cinco.

3. Elegimos. Corresponde una Gamma, con $k = 5$ y parámetro $\lambda$.

4. Ajustamos el parámetro si hace falta. En el caso Poisson el parámetro es $\lambda t$, con $t$ en las mismas unidades que la tasa. Con $\lambda = 2$ por hora y un intervalo de media hora, sería $1$.

5. Verificamos la coherencia entre las dos descripciones. $T_1 > t$ y $N(t) = 0$ son el mismo suceso, así que las dos distribuciones tienen que dar la misma probabilidad. Si dieran distinto, hay un error de unidades.

6. La idea que unifica el tema. Es un solo proceso descripto de dos maneras: por la cantidad de eventos o por los tiempos entre ellos. La pregunta define cuál conviene usar.

Respuesta: Corresponde una Gamma, con $k = 5$ y parámetro $\lambda$: se mide el tiempo acumulado hasta el evento número cinco