Ejercicios: Números índices y series cronológicas

2. Identificamos la base. $X_0 = 240$ pesos, el valor de $2019$. Su índice vale $100$ por construcción.

3. Calculamos los índices. $2019$: $\dfrac{240}{240} \cdot 100 = 100$ · $2020$: $\dfrac{432}{240} \cdot 100 = 180$ · $2021$: $\dfrac{648}{240} \cdot 100 = 270$ · $2022$: $\dfrac{874}{240} \cdot 100 \approx 364{,}1667$

4. Interpretamos el último. Un índice de $364{,}1667$ significa que el valor creció un $264{,}1667\%$ respecto de $2019$.

5. Verificamos. El cociente $\dfrac{874}{240} \approx 3{,}6417$, y multiplicado por $100$ da $364{,}1667$.

6. Para qué sirve el índice. Permite seguir la evolución sin que molesten las unidades originales, y comparar series de magnitudes distintas en la misma escala.

Respuesta: Los índices son $100$; $180$; $270$; $364{,}1667$, con base $2019 = 100$

2. Escribimos la fórmula del cambio. $I^{nuevo}_t = \dfrac{I^{viejo}_t}{I^{viejo}_{base\ nueva}} \cdot 100$

3. Identificamos el divisor. El índice viejo del año $2022$ vale $199{,}7143$: ese pasa a ser el denominador.

4. Calculamos los índices nuevos. $2020$: $\dfrac{100}{199{,}7143} \cdot 100 \approx 50{,}0715$ · $2021$: $\dfrac{124{,}8571}{199{,}7143} \cdot 100 \approx 62{,}5179$ · $2022$: $\dfrac{199{,}7143}{199{,}7143} \cdot 100 = 100$ · $2023$: $\dfrac{279{,}4286}{199{,}7143} \cdot 100 \approx 139{,}9142$

5. Verificamos. El año $2022$ da exactamente $100$, como corresponde a la base nueva.

6. Comprobamos que la evolución se conserva. En la serie vieja, de $2020$ a $2023$ el cociente es $\dfrac{279{,}4286}{100} \approx 2{,}7943$. En la nueva, $\dfrac{139{,}9142}{50{,}0715} \approx 2{,}7943$: el mismo número.

Respuesta: Con la base nueva los índices son $50{,}0715$; $62{,}5179$; $100$; $139{,}9142$

2. Reemplazamos. $\dfrac{270 - 170}{170} \cdot 100 = \dfrac{100}{170} \cdot 100 \approx 58{,}8235$

3. Escribimos el resultado. El valor creció un $58{,}8235\%$ entre $2021$ y $2023$.

4. Vemos el error de restar los índices. $270 - 170 = 100$ puntos de índice. Eso no es un $100\%$: el $100$ está medido contra la base original, no contra $170$.

5. Explicamos la diferencia. Los puntos de índice se cuentan sobre el año base. El porcentaje de variación entre dos años cualesquiera se calcula contra el primero de los dos, que acá vale $170$ y no $100$.

6. Verificamos con el cociente. $\dfrac{270}{170} \approx 1{,}5882$, o sea que el valor quedó $1{,}5882$ veces el de $2021$: un aumento del $58{,}8235\%$.

Respuesta: La variación es del $58{,}8235\%$, no de $100$ puntos porcentuales

2. Calculamos el costo actual con las mismas cantidades. $570 \cdot 40$ + $360 \cdot 40$ + $300 \cdot 15$ $= 41700$ pesos.

3. Calculamos el índice ponderado. $I = \dfrac{41700}{27800} \cdot 100 = 150$

4. Calculamos los índices simples de cada producto. harina: $\dfrac{570}{380} \cdot 100 = 150$ · aceite: $\dfrac{360}{240} \cdot 100 = 150$ · azúcar: $\dfrac{300}{200} \cdot 100 = 150$

5. Promediamos los simples y comparamos. $\dfrac{150 + 150 + 150}{3} = 150$, contra $150$ del ponderado.

6. Explicamos la diferencia. El ponderado pesa cada producto por cuánto se consume, así que el que más entra en la canasta manda más. El promedio simple trata a los tres por igual, aunque uno represente una porción mínima del gasto.

Respuesta: El índice ponderado es $150$ y el promedio de los simples $150$

2. Identificamos la base. $X_0 = 300$ miles de pesos, el valor de $2019$. Su índice vale $100$ por construcción.

3. Calculamos los índices. $2019$: $\dfrac{300}{300} \cdot 100 = 100$ · $2020$: $\dfrac{405}{300} \cdot 100 = 135$ · $2021$: $\dfrac{546}{300} \cdot 100 = 182$ · $2022$: $\dfrac{737}{300} \cdot 100 \approx 245{,}6667$

4. Interpretamos el último. Un índice de $245{,}6667$ significa que el valor creció un $145{,}6667\%$ respecto de $2019$.

5. Verificamos. El cociente $\dfrac{737}{300} \approx 2{,}4567$, y multiplicado por $100$ da $245{,}6667$.

6. Para qué sirve el índice. Permite seguir la evolución sin que molesten las unidades originales, y comparar series de magnitudes distintas en la misma escala.

Respuesta: Los índices son $100$; $135$; $182$; $245{,}6667$, con base $2019 = 100$

2. Escribimos la fórmula del cambio. $I^{nuevo}_t = \dfrac{I^{viejo}_t}{I^{viejo}_{base\ nueva}} \cdot 100$

3. Identificamos el divisor. El índice viejo del año $2023$ vale $320$: ese pasa a ser el denominador.

4. Calculamos los índices nuevos. $2020$: $\dfrac{100}{320} \cdot 100 = 31{,}25$ · $2021$: $\dfrac{160}{320} \cdot 100 = 50$ · $2022$: $\dfrac{200}{320} \cdot 100 = 62{,}5$ · $2023$: $\dfrac{320}{320} \cdot 100 = 100$

5. Verificamos. El año $2023$ da exactamente $100$, como corresponde a la base nueva.

6. Comprobamos que la evolución se conserva. En la serie vieja, de $2020$ a $2023$ el cociente es $\dfrac{320}{100} = 3{,}2$. En la nueva, $\dfrac{100}{31{,}25} = 3{,}2$: el mismo número.

Respuesta: Con la base nueva los índices son $31{,}25$; $50$; $62{,}5$; $100$

2. Reemplazamos. $\dfrac{305 - 195}{195} \cdot 100 = \dfrac{110}{195} \cdot 100 \approx 56{,}4103$

3. Escribimos el resultado. El valor creció un $56{,}4103\%$ entre $2021$ y $2023$.

4. Vemos el error de restar los índices. $305 - 195 = 110$ puntos de índice. Eso no es un $110\%$: el $110$ está medido contra la base original, no contra $195$.

5. Explicamos la diferencia. Los puntos de índice se cuentan sobre el año base. El porcentaje de variación entre dos años cualesquiera se calcula contra el primero de los dos, que acá vale $195$ y no $100$.

6. Verificamos con el cociente. $\dfrac{305}{195} \approx 1{,}5641$, o sea que el valor quedó $1{,}5641$ veces el de $2021$: un aumento del $56{,}4103\%$.

Respuesta: La variación es del $56{,}4103\%$, no de $110$ puntos porcentuales

2. Calculamos el costo actual con las mismas cantidades. $480 \cdot 45$ + $408 \cdot 25$ + $494 \cdot 15$ $= 39210$ pesos.

3. Calculamos el índice ponderado. $I = \dfrac{39210}{26100} \cdot 100 \approx 150{,}2299$

4. Calculamos los índices simples de cada producto. harina: $\dfrac{480}{320} \cdot 100 = 150$ · aceite: $\dfrac{408}{240} \cdot 100 = 170$ · azúcar: $\dfrac{494}{380} \cdot 100 = 130$

5. Promediamos los simples y comparamos. $\dfrac{150 + 170 + 130}{3} = 150$, contra $150{,}2299$ del ponderado.

6. Explicamos la diferencia. El ponderado pesa cada producto por cuánto se consume, así que el que más entra en la canasta manda más. El promedio simple trata a los tres por igual, aunque uno represente una porción mínima del gasto.

Respuesta: El índice ponderado es $150{,}2299$ y el promedio de los simples $150$

2. Identificamos la base. $X_0 = 200$ unidades, el valor de $2019$. Su índice vale $100$ por construcción.

3. Calculamos los índices. $2019$: $\dfrac{200}{200} \cdot 100 = 100$ · $2020$: $\dfrac{360}{200} \cdot 100 = 180$ · $2021$: $\dfrac{648}{200} \cdot 100 = 324$ · $2022$: $\dfrac{777}{200} \cdot 100 = 388{,}5$

4. Interpretamos el último. Un índice de $388{,}5$ significa que el valor creció un $288{,}5\%$ respecto de $2019$.

5. Verificamos. El cociente $\dfrac{777}{200} = 3{,}885$, y multiplicado por $100$ da $388{,}5$.

6. Para qué sirve el índice. Permite seguir la evolución sin que molesten las unidades originales, y comparar series de magnitudes distintas en la misma escala.

Respuesta: Los índices son $100$; $180$; $324$; $388{,}5$, con base $2019 = 100$

2. Escribimos la fórmula del cambio. $I^{nuevo}_t = \dfrac{I^{viejo}_t}{I^{viejo}_{base\ nueva}} \cdot 100$

3. Identificamos el divisor. El índice viejo del año $2023$ vale $320$: ese pasa a ser el denominador.

4. Calculamos los índices nuevos. $2020$: $\dfrac{100}{320} \cdot 100 = 31{,}25$ · $2021$: $\dfrac{160}{320} \cdot 100 = 50$ · $2022$: $\dfrac{200}{320} \cdot 100 = 62{,}5$ · $2023$: $\dfrac{320}{320} \cdot 100 = 100$

5. Verificamos. El año $2023$ da exactamente $100$, como corresponde a la base nueva.

6. Comprobamos que la evolución se conserva. En la serie vieja, de $2020$ a $2023$ el cociente es $\dfrac{320}{100} = 3{,}2$. En la nueva, $\dfrac{100}{31{,}25} = 3{,}2$: el mismo número.

Respuesta: Con la base nueva los índices son $31{,}25$; $50$; $62{,}5$; $100$

2. Reemplazamos. $\dfrac{325 - 175}{175} \cdot 100 = \dfrac{150}{175} \cdot 100 \approx 85{,}7143$

3. Escribimos el resultado. El valor creció un $85{,}7143\%$ entre $2021$ y $2023$.

4. Vemos el error de restar los índices. $325 - 175 = 150$ puntos de índice. Eso no es un $150\%$: el $150$ está medido contra la base original, no contra $175$.

5. Explicamos la diferencia. Los puntos de índice se cuentan sobre el año base. El porcentaje de variación entre dos años cualesquiera se calcula contra el primero de los dos, que acá vale $175$ y no $100$.

6. Verificamos con el cociente. $\dfrac{325}{175} \approx 1{,}8571$, o sea que el valor quedó $1{,}8571$ veces el de $2021$: un aumento del $85{,}7143\%$.

Respuesta: La variación es del $85{,}7143\%$, no de $150$ puntos porcentuales

2. Calculamos el costo actual con las mismas cantidades. $624 \cdot 20$ + $306 \cdot 25$ + $286 \cdot 40$ $= 31570$ pesos.

3. Calculamos el índice ponderado. $I = \dfrac{31570}{22900} \cdot 100 \approx 137{,}8603$

4. Calculamos los índices simples de cada producto. harina: $\dfrac{624}{480} \cdot 100 = 130$ · aceite: $\dfrac{306}{180} \cdot 100 = 170$ · azúcar: $\dfrac{286}{220} \cdot 100 = 130$

5. Promediamos los simples y comparamos. $\dfrac{130 + 170 + 130}{3} \approx 143{,}3333$, contra $137{,}8603$ del ponderado.

6. Explicamos la diferencia. El ponderado pesa cada producto por cuánto se consume, así que el que más entra en la canasta manda más. El promedio simple trata a los tres por igual, aunque uno represente una porción mínima del gasto.

Respuesta: El índice ponderado es $137{,}8603$ y el promedio de los simples $143{,}3333$