Ejercicios: Frecuencias relativas y acumuladas

1. Una variable discreta tiene esta tabla de frecuencias absolutas: $0 \to 3$ · $1 \to 9$ · $7 \to 13$ · $8 \to 5$ . Completá la tabla con la frecuencia relativa, la acumulada absoluta y la acumulada relativa, y verificá los dos totales.

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1. Calculamos el total de datos. $n = 3 + 9 + 13 + 5 = 30$

2. La frecuencia relativa es cada absoluta dividida por el total. $h_1 = \dfrac{3}{30} = 0{,}1$ · $h_2 = \dfrac{9}{30} = 0{,}3$ · $h_3 = \dfrac{13}{30} \approx 0{,}4333$ · $h_4 = \dfrac{5}{30} \approx 0{,}1667$

3. La acumulada absoluta suma las frecuencias hasta ese valor inclusive. $F_1 = 3$ · $F_2 = 12$ · $F_3 = 25$ · $F_4 = 30$

4. La acumulada relativa es cada acumulada dividida por el total. $H_1 = 0{,}1$ · $H_2 = 0{,}4$ · $H_3 = 0{,}8333$ · $H_4 = 1$

5. Verificamos los dos cierres. La última acumulada absoluta tiene que dar el total: $F_4 = 30 = n$ . Y la última relativa tiene que dar uno: $H_4 = 1$ . Si alguno de los dos no cierra, hay un error de suma.

6. Para qué sirve cada columna. La relativa permite comparar con otro grupo de distinto tamaño. La acumulada responde cuántos datos hay hasta cierto valor.

Respuesta: $h$ : 0{,}1; 0{,}3; 0{,}4333; 0{,}1667. $F$ : 3; 12; 25; 30. $H$ : 0{,}1; 0{,}4; 0{,}8333; 1

2. En dos carreras se registró cuántos respondieron la encuesta. En Economía fueron $39$ sobre $80$ , y en Ingeniería fueron $52$ sobre $105$ . Decidí en cuál de los dos grupos el resultado fue proporcionalmente mejor.

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1. Los números absolutos no se pueden comparar directamente. Los grupos tienen tamaños distintos: $80$ contra $105$ . En términos absolutos Ingeniería tiene más casos, pero eso solo dice que el grupo es más grande.

2. Calculamos la frecuencia relativa en Economía. $h_A = \dfrac{39}{80} = 0{,}4875$ , o sea el $48{,}75\%$ .

3. Calculamos la frecuencia relativa en Ingeniería. $h_B = \dfrac{52}{105} \approx 0{,}4952$ , o sea el $49{,}52\%$ .

4. Comparamos las proporciones. $49{,}52\% > 48{,}75\%$ , así que Ingeniería tiene la proporción más alta.

5. Para qué sirve la relativa. Es exactamente esto: comparar conjuntos de distinto tamaño. Veinte de cien y cuarenta de doscientos son la misma proporción, aunque los absolutos difieran.

Respuesta: Ingeniería, con $49{,}52\%$ contra $48{,}75\%$

3. Una variable discreta tiene esta tabla: $0 \to 16$ · $1 \to 15$ · $3 \to 5$ · $5 \to 15$ · $6 \to 12$ . Calculá cuántos datos son menores o iguales que $5$ , qué porcentaje representan, y cuántos son estrictamente mayores.

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1. Calculamos el total. $n = 16 + 15 + 5 + 15 + 12 = 63$

2. La acumulada responde la primera pregunta. Sumamos las frecuencias de todos los valores hasta $5$ inclusive: $16 + 15 + 5 + 15 = 51$ .

3. Pasamos a porcentaje con la acumulada relativa. $H = \dfrac{51}{63} \approx 0{,}8095$ , o sea el $80{,}95\%$ .

4. Los estrictamente mayores salen por complemento. $63 - 51 = 12$ . No hace falta volver a sumar: todo dato que no está por debajo o igual, está por encima.

5. El detalle que cambia el resultado. «Menores o iguales que $5$ » incluye a los que valen $5$ ; «menores que $5$ » no. La acumulada siempre es del primer tipo.

Respuesta: Hay $51$ datos menores o iguales que $5$ ( $80{,}95\%$ ) y $12$ estrictamente mayores

4. De una tabla quedaron solo las frecuencias acumuladas absolutas: $1 \to 12$ · $2 \to 23$ · $3 \to 31$ · $4 \to 42$ · $8 \to 50$ . Recuperá las frecuencias absolutas de cada valor.

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1. Vemos cómo se construyó la columna acumulada. Cada acumulada es la anterior más la frecuencia de ese valor: $F_i = F_{i-1} + f_i$ .

2. Despejamos la frecuencia. $f_i = F_i - F_{i-1}$ . Para el primer valor no hay anterior, así que $f_1 = F_1$ .

3. Restamos término a término. $f_1 = 12$ · $f_2 = 23 - 12 = 11$ · $f_3 = 31 - 23 = 8$ · $f_4 = 42 - 31 = 11$ · $f_5 = 50 - 42 = 8$

4. Verificamos. $12 + 11 + 8 + 11 + 8 = 50$ , que es la última acumulada. Si no coincidiera, alguna resta está mal.

5. Un chequeo que sirve siempre. La columna acumulada nunca puede bajar, porque cada paso le suma una frecuencia que no es negativa. Si en algún renglón baja, la tabla tiene un error.

Respuesta: $1 \to 12$ · $2 \to 11$ · $3 \to 8$ · $4 \to 11$ · $8 \to 8$ , con $n = 50$

5. Una variable discreta tiene esta tabla de frecuencias absolutas: $0 \to 6$ · $4 \to 4$ · $5 \to 5$ · $6 \to 3$ . Completá la tabla con la frecuencia relativa, la acumulada absoluta y la acumulada relativa, y verificá los dos totales.

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1. Calculamos el total de datos. $n = 6 + 4 + 5 + 3 = 18$

2. La frecuencia relativa es cada absoluta dividida por el total. $h_1 = \dfrac{6}{18} \approx 0{,}3333$ · $h_2 = \dfrac{4}{18} \approx 0{,}2222$ · $h_3 = \dfrac{5}{18} \approx 0{,}2778$ · $h_4 = \dfrac{3}{18} \approx 0{,}1667$

3. La acumulada absoluta suma las frecuencias hasta ese valor inclusive. $F_1 = 6$ · $F_2 = 10$ · $F_3 = 15$ · $F_4 = 18$

4. La acumulada relativa es cada acumulada dividida por el total. $H_1 = 0{,}3333$ · $H_2 = 0{,}5556$ · $H_3 = 0{,}8333$ · $H_4 = 1$

5. Verificamos los dos cierres. La última acumulada absoluta tiene que dar el total: $F_4 = 18 = n$ . Y la última relativa tiene que dar uno: $H_4 = 1$ . Si alguno de los dos no cierra, hay un error de suma.

6. Para qué sirve cada columna. La relativa permite comparar con otro grupo de distinto tamaño. La acumulada responde cuántos datos hay hasta cierto valor.

Respuesta: $h$ : 0{,}3333; 0{,}2222; 0{,}2778; 0{,}1667. $F$ : 6; 10; 15; 18. $H$ : 0{,}3333; 0{,}5556; 0{,}8333; 1

6. En dos sucursales se registró cuántos renovaron la suscripción. En la sucursal centro fueron $49$ sobre $70$ , y en la sucursal norte fueron $71$ sobre $145$ . Decidí en cuál de los dos grupos el resultado fue proporcionalmente mejor.

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1. Los números absolutos no se pueden comparar directamente. Los grupos tienen tamaños distintos: $70$ contra $145$ . En términos absolutos la sucursal norte tiene más casos, pero eso solo dice que el grupo es más grande.

2. Calculamos la frecuencia relativa en la sucursal centro. $h_A = \dfrac{49}{70} = 0{,}7$ , o sea el $70\%$ .

3. Calculamos la frecuencia relativa en la sucursal norte. $h_B = \dfrac{71}{145} \approx 0{,}4897$ , o sea el $48{,}97\%$ .

4. Comparamos las proporciones. $70\% > 48{,}97\%$ , así que la sucursal centro tiene la proporción más alta.

5. Para qué sirve la relativa. Es exactamente esto: comparar conjuntos de distinto tamaño. Veinte de cien y cuarenta de doscientos son la misma proporción, aunque los absolutos difieran.

Respuesta: La sucursal centro, con $70\%$ contra $48{,}97\%$

7. Una variable discreta tiene esta tabla: $1 \to 5$ · $2 \to 15$ · $5 \to 18$ · $6 \to 15$ · $8 \to 14$ . Calculá cuántos datos son menores o iguales que $6$ , qué porcentaje representan, y cuántos son estrictamente mayores.

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1. Calculamos el total. $n = 5 + 15 + 18 + 15 + 14 = 67$

2. La acumulada responde la primera pregunta. Sumamos las frecuencias de todos los valores hasta $6$ inclusive: $5 + 15 + 18 + 15 = 53$ .

3. Pasamos a porcentaje con la acumulada relativa. $H = \dfrac{53}{67} \approx 0{,}791$ , o sea el $79{,}1\%$ .

4. Los estrictamente mayores salen por complemento. $67 - 53 = 14$ . No hace falta volver a sumar: todo dato que no está por debajo o igual, está por encima.

5. El detalle que cambia el resultado. «Menores o iguales que $6$ » incluye a los que valen $6$ ; «menores que $6$ » no. La acumulada siempre es del primer tipo.

Respuesta: Hay $53$ datos menores o iguales que $6$ ( $79{,}1\%$ ) y $14$ estrictamente mayores

8. De una tabla quedaron solo las frecuencias acumuladas absolutas: $1 \to 8$ · $4 \to 11$ · $6 \to 14$ · $7 \to 22$ · $9 \to 28$ . Recuperá las frecuencias absolutas de cada valor.

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1. Vemos cómo se construyó la columna acumulada. Cada acumulada es la anterior más la frecuencia de ese valor: $F_i = F_{i-1} + f_i$ .

2. Despejamos la frecuencia. $f_i = F_i - F_{i-1}$ . Para el primer valor no hay anterior, así que $f_1 = F_1$ .

3. Restamos término a término. $f_1 = 8$ · $f_2 = 11 - 8 = 3$ · $f_3 = 14 - 11 = 3$ · $f_4 = 22 - 14 = 8$ · $f_5 = 28 - 22 = 6$

4. Verificamos. $8 + 3 + 3 + 8 + 6 = 28$ , que es la última acumulada. Si no coincidiera, alguna resta está mal.

5. Un chequeo que sirve siempre. La columna acumulada nunca puede bajar, porque cada paso le suma una frecuencia que no es negativa. Si en algún renglón baja, la tabla tiene un error.

Respuesta: $1 \to 8$ · $4 \to 3$ · $6 \to 3$ · $7 \to 8$ · $9 \to 6$ , con $n = 28$

9. Una variable discreta tiene esta tabla de frecuencias absolutas: $3 \to 11$ · $4 \to 3$ · $6 \to 8$ · $8 \to 12$ . Completá la tabla con la frecuencia relativa, la acumulada absoluta y la acumulada relativa, y verificá los dos totales.

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1. Calculamos el total de datos. $n = 11 + 3 + 8 + 12 = 34$

2. La frecuencia relativa es cada absoluta dividida por el total. $h_1 = \dfrac{11}{34} \approx 0{,}3235$ · $h_2 = \dfrac{3}{34} \approx 0{,}0882$ · $h_3 = \dfrac{8}{34} \approx 0{,}2353$ · $h_4 = \dfrac{12}{34} \approx 0{,}3529$

3. La acumulada absoluta suma las frecuencias hasta ese valor inclusive. $F_1 = 11$ · $F_2 = 14$ · $F_3 = 22$ · $F_4 = 34$

4. La acumulada relativa es cada acumulada dividida por el total. $H_1 = 0{,}3235$ · $H_2 = 0{,}4118$ · $H_3 = 0{,}6471$ · $H_4 = 1$

5. Verificamos los dos cierres. La última acumulada absoluta tiene que dar el total: $F_4 = 34 = n$ . Y la última relativa tiene que dar uno: $H_4 = 1$ . Si alguno de los dos no cierra, hay un error de suma.

6. Para qué sirve cada columna. La relativa permite comparar con otro grupo de distinto tamaño. La acumulada responde cuántos datos hay hasta cierto valor.

Respuesta: $h$ : 0{,}3235; 0{,}0882; 0{,}2353; 0{,}3529. $F$ : 11; 14; 22; 34. $H$ : 0{,}3235; 0{,}4118; 0{,}6471; 1

10. En dos turnos de producción se registró cuántos resultaron defectuosas. En el turno mañana fueron $33$ sobre $60$ , y en el turno noche fueron $85$ sobre $145$ . Decidí en cuál de los dos grupos el resultado fue proporcionalmente mejor.

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1. Los números absolutos no se pueden comparar directamente. Los grupos tienen tamaños distintos: $60$ contra $145$ . En términos absolutos el turno noche tiene más casos, pero eso solo dice que el grupo es más grande.

2. Calculamos la frecuencia relativa en el turno mañana. $h_A = \dfrac{33}{60} = 0{,}55$ , o sea el $55\%$ .

3. Calculamos la frecuencia relativa en el turno noche. $h_B = \dfrac{85}{145} \approx 0{,}5862$ , o sea el $58{,}62\%$ .

4. Comparamos las proporciones. $58{,}62\% > 55\%$ , así que el turno noche tiene la proporción más alta.

5. Para qué sirve la relativa. Es exactamente esto: comparar conjuntos de distinto tamaño. Veinte de cien y cuarenta de doscientos son la misma proporción, aunque los absolutos difieran.

Respuesta: El turno noche, con $58{,}62\%$ contra $55\%$

11. Una variable discreta tiene esta tabla: $3 \to 12$ · $4 \to 4$ · $6 \to 7$ · $7 \to 9$ · $8 \to 6$ . Calculá cuántos datos son menores o iguales que $4$ , qué porcentaje representan, y cuántos son estrictamente mayores.

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1. Calculamos el total. $n = 12 + 4 + 7 + 9 + 6 = 38$

2. La acumulada responde la primera pregunta. Sumamos las frecuencias de todos los valores hasta $4$ inclusive: $12 + 4 = 16$ .

3. Pasamos a porcentaje con la acumulada relativa. $H = \dfrac{16}{38} \approx 0{,}4211$ , o sea el $42{,}11\%$ .

4. Los estrictamente mayores salen por complemento. $38 - 16 = 22$ . No hace falta volver a sumar: todo dato que no está por debajo o igual, está por encima.

5. El detalle que cambia el resultado. «Menores o iguales que $4$ » incluye a los que valen $4$ ; «menores que $4$ » no. La acumulada siempre es del primer tipo.

Respuesta: Hay $16$ datos menores o iguales que $4$ ( $42{,}11\%$ ) y $22$ estrictamente mayores

12. De una tabla quedaron solo las frecuencias acumuladas absolutas: $1 \to 9$ · $2 \to 20$ · $5 \to 33$ · $8 \to 40$ · $9 \to 50$ . Recuperá las frecuencias absolutas de cada valor.

Ver solución

1. Vemos cómo se construyó la columna acumulada. Cada acumulada es la anterior más la frecuencia de ese valor: $F_i = F_{i-1} + f_i$ .

2. Despejamos la frecuencia. $f_i = F_i - F_{i-1}$ . Para el primer valor no hay anterior, así que $f_1 = F_1$ .

3. Restamos término a término. $f_1 = 9$ · $f_2 = 20 - 9 = 11$ · $f_3 = 33 - 20 = 13$ · $f_4 = 40 - 33 = 7$ · $f_5 = 50 - 40 = 10$

4. Verificamos. $9 + 11 + 13 + 7 + 10 = 50$ , que es la última acumulada. Si no coincidiera, alguna resta está mal.

5. Un chequeo que sirve siempre. La columna acumulada nunca puede bajar, porque cada paso le suma una frecuencia que no es negativa. Si en algún renglón baja, la tabla tiene un error.

Respuesta: $1 \to 9$ · $2 \to 11$ · $5 \to 13$ · $8 \to 7$ · $9 \to 10$ , con $n = 50$