Método

Ejercicios: Datos agrupados en intervalos

R=xmax⁡−xmin⁡,a=Rk,xi=Li+Li+12R = x_{\max} - x_{\min}, \quad a = \frac{R}{k}, \quad x_{i} = \frac{L_{i} + L_{i+1}}{2}

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Se relevó la altura de las plantas en centímetros en 4949 observaciones. El valor mínimo fue 1515 y el máximo 7777. Armá los intervalos de clase con la regla práctica de la raíz, con amplitud constante, y dá las marcas de clase.

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1. Calculamos el rango. R=xmax⁡−xmin⁡=77−15=62R = x_{\max} - x_{\min} = 77 - 15 = 62 cm.

2. Elegimos la cantidad de clases. La regla práctica es k≈n=49=7k \approx \sqrt{n} = \sqrt{49} = 7, así que usamos 77 clases.

3. Calculamos la amplitud. a=Rk=627≈8,8571a = \dfrac{R}{k} = \dfrac{62}{7} \approx 8{,}8571. Se redondea hacia arriba a a=9a = 9, para que las 77 clases cubran todo el rango. Cubren 7⋅9=637 \cdot 9 = 63, que es más que 6262: sobra un poco al final y eso está bien.

4. Armamos los intervalos desde el mínimo. [15;24)[15; 24) · [24;33)[24; 33) · [33;42)[33; 42) · [42;51)[42; 51) · [51;60)[51; 60) · [60;69)[60; 69) · [69;78)[69; 78). Van cerrados a la izquierda y abiertos a la derecha, para que cada dato caiga en una sola clase.

5. Calculamos las marcas de clase. x1=15+242=19,5x_1 = \dfrac{15 + 24}{2} = 19{,}5 · x2=24+332=28,5x_2 = \dfrac{24 + 33}{2} = 28{,}5 · x3=33+422=37,5x_3 = \dfrac{33 + 42}{2} = 37{,}5 · x4=42+512=46,5x_4 = \dfrac{42 + 51}{2} = 46{,}5 · x5=51+602=55,5x_5 = \dfrac{51 + 60}{2} = 55{,}5 · x6=60+692=64,5x_6 = \dfrac{60 + 69}{2} = 64{,}5 · x7=69+782=73,5x_7 = \dfrac{69 + 78}{2} = 73{,}5

6. Lo que hay que tener presente. A partir de acá cada dato se reemplaza por la marca de su clase, así que todo lo que se calcule con la tabla agrupada es aproximado.

Respuesta: 77 clases de amplitud 99: [15;24)[15; 24) · [24;33)[24; 33) · [33;42)[33; 42) · [42;51)[42; 51) · [51;60)[51; 60) · [60;69)[60; 69) · [69;78)[69; 78). Marcas: 19,519{,}5; 28,528{,}5; 37,537{,}5; 46,546{,}5; 55,555{,}5; 64,564{,}5; 73,573{,}5

2. Se relevó la altura de las plantas en centímetros en 2020 observaciones: 2020; 2222; 2222; 2424; 2424; 2525; 2626; 2727; 2727; 2929; 3030; 3131; 3131; 3131; 3434; 3535; 3535; 3737; 3737; 3939. Los mismos datos se agruparon en las clases [20;25)[20; 25) · [25;30)[25; 30) · [30;35)[30; 35) · [35;40)[35; 40). Calculá la media con los datos sin agrupar y con la tabla agrupada, y medí cuánto se perdió al agrupar.

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1. Calculamos la media con los datos originales. xˉ=58620=29,3\bar{x} = \dfrac{586}{20} = 29{,}3 cm.

2. Contamos cuántos datos cayeron en cada clase. [20;25)→5[20; 25) \to 5 · [25;30)→5[25; 30) \to 5 · [30;35)→5[30; 35) \to 5 · [35;40)→5[35; 40) \to 5. Total: 5+5+5+5=205 + 5 + 5 + 5 = 20.

3. Calculamos las marcas de clase. x1=22,5x_1 = 22{,}5 · x2=27,5x_2 = 27{,}5 · x3=32,5x_3 = 32{,}5 · x4=37,5x_4 = 37{,}5. Cada dato del intervalo se reemplaza por su marca.

4. Calculamos la media con la tabla agrupada. xˉ=∑xifin=22,5⋅5+27,5⋅5+32,5⋅5+37,5⋅520=30\bar{x} = \dfrac{\sum x_i f_i}{n} = \dfrac{22{,}5 \cdot 5 + 27{,}5 \cdot 5 + 32{,}5 \cdot 5 + 37{,}5 \cdot 5}{20} = 30 cm.

5. Medimos la diferencia. ∣29,3−30∣=0,7|29{,}3 - 30| = 0{,}7 cm, que es un 2,39%2{,}39\% de la media real.

6. Qué muestra esa diferencia. Al agrupar se supone que todos los datos de una clase valen lo que la marca, y casi nunca es cierto. La media agrupada es una aproximación: se gana lectura y se paga con precisión.

Respuesta: Con los datos originales 29,329{,}3 y con la tabla agrupada 3030; la diferencia es de 0,70{,}7 cm

3. Para agrupar la duración de las llamadas en segundos se propusieron estas clases: [30;40][30; 40] · [40;50][40; 50] · [50;60][50; 60] · [60;70][60; 70]. Decidí si están bien construidas, mostrando con un dato concreto si se pisan o dejan huecos, y corregilas si hace falta.

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1. Miramos qué pasa en los bordes. Los intervalos están cerrados de los dos lados, y el extremo de uno es el comienzo del siguiente: [30;40][30; 40] termina en 4040 y [40;50][40; 50] empieza en 4040.

2. Probamos con un dato concreto. Un dato de 4040 segundos cumple las dos condiciones, así que entra en dos clases a la vez y se cuenta dos veces.

3. Vemos la consecuencia. La suma de las frecuencias da más que la cantidad de datos, y todo lo que venga después queda mal.

4. Corregimos. Se cierra un solo lado de cada intervalo: [30;40)[30; 40) · [40;50)[40; 50) · [50;60)[50; 60) · [60;70)[60; 70). Así cada dato cae en exactamente una clase.

5. El único intervalo que puede ir cerrado. El último, para que el valor máximo entre: [60;70][60; 70].

Respuesta: Está mal: los intervalos se pisan y un dato de 4040 se cuenta dos veces. Hay que dejarlos abiertos a la derecha

4. Al relevar la altura de las plantas en centímetros, los datos se agrupan en las clases [55;63)[55; 63) · [63;71)[63; 71) · [71;79)[71; 79) · [79;87)[79; 87), cerradas a la izquierda y abiertas a la derecha. Decidí en qué clase cae cada uno de estos tres datos: 7171, 7070 y 8686.

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1. Leemos qué significa la notación. [a;b)[a; b) incluye a aa y no incluye a bb. Un dato que vale exactamente bb pertenece a la clase siguiente, no a esta.

2. Ubicamos el 7171. Es exactamente el límite entre [63;71)[63; 71) y [71;79)[71; 79). Como el intervalo está abierto a la derecha, no pertenece al primero: cae en [71;79)[71; 79).

3. Ubicamos el 7070. Está por debajo de 7171, así que cae en [63;71)[63; 71). Es el vecino inmediato del anterior y sin embargo va a otra clase.

4. Ubicamos el 8686. Cae en [79;87)[79; 87), la última clase.

5. Por qué la convención importa. Sin una regla fija para los bordes, los datos que caen justo en un límite se cuentan dos veces o ninguna. Elegida la regla, hay que aplicarla a todas las clases igual.

Respuesta: 7171 va a [71;79)[71; 79), 7070 va a [63;71)[63; 71) y 8686 va a [79;87)[79; 87)

5. Se relevó el gasto semanal en miles de pesos en 3636 observaciones. El valor mínimo fue 4545 y el máximo 7979. Armá los intervalos de clase con la regla práctica de la raíz, con amplitud constante, y dá las marcas de clase.

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1. Calculamos el rango. R=xmax⁡−xmin⁡=79−45=34R = x_{\max} - x_{\min} = 79 - 45 = 34 miles de pesos.

2. Elegimos la cantidad de clases. La regla práctica es k≈n=36=6k \approx \sqrt{n} = \sqrt{36} = 6, así que usamos 66 clases.

3. Calculamos la amplitud. a=Rk=346≈5,6667a = \dfrac{R}{k} = \dfrac{34}{6} \approx 5{,}6667. Se redondea hacia arriba a a=6a = 6, para que las 66 clases cubran todo el rango. Cubren 6⋅6=366 \cdot 6 = 36, que es más que 3434: sobra un poco al final y eso está bien.

4. Armamos los intervalos desde el mínimo. [45;51)[45; 51) · [51;57)[51; 57) · [57;63)[57; 63) · [63;69)[63; 69) · [69;75)[69; 75) · [75;81)[75; 81). Van cerrados a la izquierda y abiertos a la derecha, para que cada dato caiga en una sola clase.

5. Calculamos las marcas de clase. x1=45+512=48x_1 = \dfrac{45 + 51}{2} = 48 · x2=51+572=54x_2 = \dfrac{51 + 57}{2} = 54 · x3=57+632=60x_3 = \dfrac{57 + 63}{2} = 60 · x4=63+692=66x_4 = \dfrac{63 + 69}{2} = 66 · x5=69+752=72x_5 = \dfrac{69 + 75}{2} = 72 · x6=75+812=78x_6 = \dfrac{75 + 81}{2} = 78

6. Lo que hay que tener presente. A partir de acá cada dato se reemplaza por la marca de su clase, así que todo lo que se calcule con la tabla agrupada es aproximado.

Respuesta: 66 clases de amplitud 66: [45;51)[45; 51) · [51;57)[51; 57) · [57;63)[57; 63) · [63;69)[63; 69) · [69;75)[69; 75) · [75;81)[75; 81). Marcas: 4848; 5454; 6060; 6666; 7272; 7878

6. Se relevó la duración de las llamadas en segundos en 2020 observaciones: 3131; 3333; 3636; 3737; 3838; 4040; 4040; 4040; 4646; 4848; 5151; 5252; 5656; 5858; 5959; 6363; 6363; 6565; 6565; 6767. Los mismos datos se agruparon en las clases [30;40)[30; 40) · [40;50)[40; 50) · [50;60)[50; 60) · [60;70)[60; 70). Calculá la media con los datos sin agrupar y con la tabla agrupada, y medí cuánto se perdió al agrupar.

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1. Calculamos la media con los datos originales. xˉ=98820=49,4\bar{x} = \dfrac{988}{20} = 49{,}4 segundos.

2. Contamos cuántos datos cayeron en cada clase. [30;40)→5[30; 40) \to 5 · [40;50)→5[40; 50) \to 5 · [50;60)→5[50; 60) \to 5 · [60;70)→5[60; 70) \to 5. Total: 5+5+5+5=205 + 5 + 5 + 5 = 20.

3. Calculamos las marcas de clase. x1=35x_1 = 35 · x2=45x_2 = 45 · x3=55x_3 = 55 · x4=65x_4 = 65. Cada dato del intervalo se reemplaza por su marca.

4. Calculamos la media con la tabla agrupada. xˉ=∑xifin=35⋅5+45⋅5+55⋅5+65⋅520=50\bar{x} = \dfrac{\sum x_i f_i}{n} = \dfrac{35 \cdot 5 + 45 \cdot 5 + 55 \cdot 5 + 65 \cdot 5}{20} = 50 segundos.

5. Medimos la diferencia. ∣49,4−50∣=0,6|49{,}4 - 50| = 0{,}6 segundos, que es un 1,21%1{,}21\% de la media real.

6. Qué muestra esa diferencia. Al agrupar se supone que todos los datos de una clase valen lo que la marca, y casi nunca es cierto. La media agrupada es una aproximación: se gana lectura y se paga con precisión.

Respuesta: Con los datos originales 49,449{,}4 y con la tabla agrupada 5050; la diferencia es de 0,60{,}6 segundos

7. Para agrupar el gasto semanal en miles de pesos se propusieron estas clases: [30;36)[30; 36) · [38;44)[38; 44) · [46;52)[46; 52). Decidí si están bien construidas, mostrando con un dato concreto si dejan huecos o se pisan, y corregilas si hace falta.

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1. Miramos si las clases son contiguas. La primera termina en 3636 y la segunda arranca en 3838.

2. Probamos con un dato concreto. Un dato de 3737 miles de pesos no entra en ninguna de las dos: quedó en un hueco entre clases.

3. Vemos la consecuencia. La suma de las frecuencias da menos que la cantidad de datos, y hay observaciones que directamente desaparecen del análisis.

4. Corregimos. Las clases tienen que ser contiguas, con el límite superior de una igual al inferior de la siguiente. Con amplitud 66 quedan [30;36)[30; 36) · [36;42)[36; 42) · [42;48)[42; 48).

5. La condición general. Los intervalos tienen que ser excluyentes y cubrir todo el recorrido de la variable: ni superpuestos ni con huecos.

Respuesta: Está mal: quedan huecos y un dato de 3737 no entra en ninguna clase. Las clases tienen que ser contiguas

8. Al relevar el tiempo de atención en minutos, los datos se agrupan en las clases [40;48)[40; 48) · [48;56)[48; 56) · [56;64)[56; 64) · [64;72)[64; 72), cerradas a la izquierda y abiertas a la derecha. Decidí en qué clase cae cada uno de estos tres datos: 5656, 5555 y 7171.

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1. Leemos qué significa la notación. [a;b)[a; b) incluye a aa y no incluye a bb. Un dato que vale exactamente bb pertenece a la clase siguiente, no a esta.

2. Ubicamos el 5656. Es exactamente el límite entre [48;56)[48; 56) y [56;64)[56; 64). Como el intervalo está abierto a la derecha, no pertenece al primero: cae en [56;64)[56; 64).

3. Ubicamos el 5555. Está por debajo de 5656, así que cae en [48;56)[48; 56). Es el vecino inmediato del anterior y sin embargo va a otra clase.

4. Ubicamos el 7171. Cae en [64;72)[64; 72), la última clase.

5. Por qué la convención importa. Sin una regla fija para los bordes, los datos que caen justo en un límite se cuentan dos veces o ninguna. Elegida la regla, hay que aplicarla a todas las clases igual.

Respuesta: 5656 va a [56;64)[56; 64), 5555 va a [48;56)[48; 56) y 7171 va a [64;72)[64; 72)

9. Se relevó el tiempo de atención en minutos en 3636 observaciones. El valor mínimo fue 1515 y el máximo 5757. Armá los intervalos de clase con la regla práctica de la raíz, con amplitud constante, y dá las marcas de clase.

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1. Calculamos el rango. R=xmax⁡−xmin⁡=57−15=42R = x_{\max} - x_{\min} = 57 - 15 = 42 minutos.

2. Elegimos la cantidad de clases. La regla práctica es k≈n=36=6k \approx \sqrt{n} = \sqrt{36} = 6, así que usamos 66 clases.

3. Calculamos la amplitud. a=Rk=426=7a = \dfrac{R}{k} = \dfrac{42}{6} = 7. Se redondea hacia arriba a a=8a = 8, para que las 66 clases cubran todo el rango. Cubren 6⋅8=486 \cdot 8 = 48, que es más que 4242: sobra un poco al final y eso está bien.

4. Armamos los intervalos desde el mínimo. [15;23)[15; 23) · [23;31)[23; 31) · [31;39)[31; 39) · [39;47)[39; 47) · [47;55)[47; 55) · [55;63)[55; 63). Van cerrados a la izquierda y abiertos a la derecha, para que cada dato caiga en una sola clase.

5. Calculamos las marcas de clase. x1=15+232=19x_1 = \dfrac{15 + 23}{2} = 19 · x2=23+312=27x_2 = \dfrac{23 + 31}{2} = 27 · x3=31+392=35x_3 = \dfrac{31 + 39}{2} = 35 · x4=39+472=43x_4 = \dfrac{39 + 47}{2} = 43 · x5=47+552=51x_5 = \dfrac{47 + 55}{2} = 51 · x6=55+632=59x_6 = \dfrac{55 + 63}{2} = 59

6. Lo que hay que tener presente. A partir de acá cada dato se reemplaza por la marca de su clase, así que todo lo que se calcule con la tabla agrupada es aproximado.

Respuesta: 66 clases de amplitud 88: [15;23)[15; 23) · [23;31)[23; 31) · [31;39)[31; 39) · [39;47)[39; 47) · [47;55)[47; 55) · [55;63)[55; 63). Marcas: 1919; 2727; 3535; 4343; 5151; 5959

10. Se relevó el peso de las piezas en gramos en 2020 observaciones: 4040; 4141; 4242; 4444; 4444; 4545; 4545; 4545; 4747; 4848; 5050; 5252; 5252; 5353; 5353; 5555; 5757; 5858; 5858; 5959. Los mismos datos se agruparon en las clases [40;45)[40; 45) · [45;50)[45; 50) · [50;55)[50; 55) · [55;60)[55; 60). Calculá la media con los datos sin agrupar y con la tabla agrupada, y medí cuánto se perdió al agrupar.

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1. Calculamos la media con los datos originales. xˉ=98820=49,4\bar{x} = \dfrac{988}{20} = 49{,}4 gramos.

2. Contamos cuántos datos cayeron en cada clase. [40;45)→5[40; 45) \to 5 · [45;50)→5[45; 50) \to 5 · [50;55)→5[50; 55) \to 5 · [55;60)→5[55; 60) \to 5. Total: 5+5+5+5=205 + 5 + 5 + 5 = 20.

3. Calculamos las marcas de clase. x1=42,5x_1 = 42{,}5 · x2=47,5x_2 = 47{,}5 · x3=52,5x_3 = 52{,}5 · x4=57,5x_4 = 57{,}5. Cada dato del intervalo se reemplaza por su marca.

4. Calculamos la media con la tabla agrupada. xˉ=∑xifin=42,5⋅5+47,5⋅5+52,5⋅5+57,5⋅520=50\bar{x} = \dfrac{\sum x_i f_i}{n} = \dfrac{42{,}5 \cdot 5 + 47{,}5 \cdot 5 + 52{,}5 \cdot 5 + 57{,}5 \cdot 5}{20} = 50 gramos.

5. Medimos la diferencia. ∣49,4−50∣=0,6|49{,}4 - 50| = 0{,}6 gramos, que es un 1,21%1{,}21\% de la media real.

6. Qué muestra esa diferencia. Al agrupar se supone que todos los datos de una clase valen lo que la marca, y casi nunca es cierto. La media agrupada es una aproximación: se gana lectura y se paga con precisión.

Respuesta: Con los datos originales 49,449{,}4 y con la tabla agrupada 5050; la diferencia es de 0,60{,}6 gramos

11. Para agrupar el tiempo de atención en minutos se propusieron estas clases: [35;41][35; 41] · [41;47][41; 47] · [47;53][47; 53] · [53;59][53; 59]. Decidí si están bien construidas, mostrando con un dato concreto si se pisan o dejan huecos, y corregilas si hace falta.

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1. Miramos qué pasa en los bordes. Los intervalos están cerrados de los dos lados, y el extremo de uno es el comienzo del siguiente: [35;41][35; 41] termina en 4141 y [41;47][41; 47] empieza en 4141.

2. Probamos con un dato concreto. Un dato de 4141 minutos cumple las dos condiciones, así que entra en dos clases a la vez y se cuenta dos veces.

3. Vemos la consecuencia. La suma de las frecuencias da más que la cantidad de datos, y todo lo que venga después queda mal.

4. Corregimos. Se cierra un solo lado de cada intervalo: [35;41)[35; 41) · [41;47)[41; 47) · [47;53)[47; 53) · [53;59)[53; 59). Así cada dato cae en exactamente una clase.

5. El único intervalo que puede ir cerrado. El último, para que el valor máximo entre: [53;59][53; 59].

Respuesta: Está mal: los intervalos se pisan y un dato de 4141 se cuenta dos veces. Hay que dejarlos abiertos a la derecha

12. Al relevar el peso de las piezas en gramos, los datos se agrupan en las clases [55;65)[55; 65) · [65;75)[65; 75) · [75;85)[75; 85) · [85;95)[85; 95), cerradas a la izquierda y abiertas a la derecha. Decidí en qué clase cae cada uno de estos tres datos: 7575, 7474 y 9494.

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1. Leemos qué significa la notación. [a;b)[a; b) incluye a aa y no incluye a bb. Un dato que vale exactamente bb pertenece a la clase siguiente, no a esta.

2. Ubicamos el 7575. Es exactamente el límite entre [65;75)[65; 75) y [75;85)[75; 85). Como el intervalo está abierto a la derecha, no pertenece al primero: cae en [75;85)[75; 85).

3. Ubicamos el 7474. Está por debajo de 7575, así que cae en [65;75)[65; 75). Es el vecino inmediato del anterior y sin embargo va a otra clase.

4. Ubicamos el 9494. Cae en [85;95)[85; 95), la última clase.

5. Por qué la convención importa. Sin una regla fija para los bordes, los datos que caen justo en un límite se cuentan dos veces o ninguna. Elegida la regla, hay que aplicarla a todas las clases igual.

Respuesta: 7575 va a [75;85)[75; 85), 7474 va a [65;75)[65; 75) y 9494 va a [85;95)[85; 95)

Integradores de Estadística descriptiva y conteo: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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