Ejercicios: El test chi cuadrado de independencia

1. Se cruzó el tipo de cliente con la renovación del servicio en $155$ casos: Nuevo y Renueva: $55$ · Nuevo y No renueva: $25$ · Antiguo y Renueva: $30$ · Antiguo y No renueva: $45$ . Calculá las frecuencias esperadas bajo la hipótesis de independencia.

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1. Planteamos la hipótesis nula. $H_0$ : las dos variables son independientes. Bajo esa hipótesis se calcula cuántos casos se esperarían en cada casillero.

2. Calculamos los totales marginales. Filas: Nuevo: $80$ ; Antiguo: $75$ . Columnas: Renueva: $85$ ; No renueva: $70$ . Total: $155$ .

3. Escribimos la fórmula de la esperada. $E_{ij} = \dfrac{\text{total de la fila} \cdot \text{total de la columna}}{\text{total general}}$

4. Calculamos una a modo de ejemplo. Para Nuevo y No renueva: $E = \dfrac{80 \cdot 70}{155} \approx 36{,}129$ .

5. Calculamos todas. Nuevo y Renueva: $43{,}871$ · Nuevo y No renueva: $36{,}129$ · Antiguo y Renueva: $41{,}129$ · Antiguo y No renueva: $33{,}871$

6. Verificamos. Las esperadas suman $155$ , igual que las observadas. Los totales marginales se conservan: eso es lo que hace la construcción.

Respuesta: Por ejemplo, $E$ para Nuevo y No renueva vale $36{,}129$ ; todas se calculan igual

2. Se cruzó el tipo de cliente con la renovación del servicio en $245$ casos: Nuevo y Renueva: $75$ · Nuevo y No renueva: $70$ · Antiguo y Renueva: $50$ · Antiguo y No renueva: $50$ . Calculá el estadístico chi cuadrado.

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1. Calculamos las frecuencias esperadas. $73{,}9796$ · $71{,}0204$ · $51{,}0204$ · $48{,}9796$ , cada una como total de fila por total de columna sobre el total general.

2. Escribimos el estadístico. $\chi^{2} = \sum \dfrac{(O - E)^{2}}{E}$ , sumando sobre todas las celdas.

3. Calculamos el aporte de cada celda. $\dfrac{(75 - 73{,}9796)^{2}}{73{,}9796} = 0{,}0141$ · $\dfrac{(70 - 71{,}0204)^{2}}{71{,}0204} = 0{,}0147$ · $\dfrac{(50 - 51{,}0204)^{2}}{51{,}0204} = 0{,}0204$ · $\dfrac{(50 - 48{,}9796)^{2}}{48{,}9796} = 0{,}0213$

4. Sumamos. $\chi^{2} = 0{,}0704$

5. Damos los grados de libertad. $(f - 1)(c - 1) = (2 - 1)(2 - 1) = 1$ .

6. Interpretamos el tamaño del estadístico. Mide cuánto se apartan las observadas de las esperadas. Si las variables fueran independientes, el estadístico rondaría los $1$ grados de libertad; acá vale $0{,}0704$ .

Respuesta: $\chi^{2} = 0{,}0704$ con $1$ grados de libertad

3. Al cruzar el tipo de cliente con la renovación del servicio en $150$ casos se obtuvo $\chi^{2} = 10{,}0478$ , sobre una tabla de $2$ filas y $2$ columnas. De tabla, el valor crítico al $5\%$ con esos grados de libertad es $3{,}8415$ . Completá el test y escribí la conclusión.

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1. Planteamos las hipótesis. $H_0$ : las dos variables son independientes. $H_1$ : están relacionadas.

2. Calculamos los grados de libertad. $(f - 1)(c - 1) = (2 - 1)(2 - 1) = 1$ . No dependen de la cantidad de casos sino del tamaño de la tabla.

3. Ubicamos la zona de rechazo. El test es siempre de cola derecha: se rechaza si el estadístico supera $3{,}8415$ . Valores grandes indican que las observadas se apartan mucho de las esperadas.

4. Comparamos. $10{,}0478$ supera a $3{,}8415$ .

5. Decidimos. Se rechaza la independencia: hay evidencia de que las dos variables están relacionadas.

6. Marcamos qué no dice el test. Ni la dirección ni la fuerza de la relación. Para eso hay que mirar en qué celdas la observada se apartó más de la esperada.

Respuesta: $\chi^{2} = 10{,}0478$ contra $3{,}8415$ con $1$ grados: se rechaza la independencia

4. Se armó una tabla de contingencia de $175$ casos: Grupo A y Sí: $45$ · Grupo A y No: $45$ · Grupo A y No sabe: $3$ · Grupo B y Sí: $30$ · Grupo B y No: $50$ · Grupo B y No sabe: $2$ . Verificá si se cumple la condición para aplicar el test chi cuadrado.

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1. Escribimos la condición. El test es una aproximación, y para que valga hace falta que las frecuencias esperadas no sean demasiado chicas. La regla habitual pide que todas superen $5$ .

2. Calculamos las esperadas. Grupo A y Sí: $39{,}8571$ · Grupo A y No: $50{,}4857$ · Grupo A y No sabe: $2{,}6571$ · Grupo B y Sí: $35{,}1429$ · Grupo B y No: $44{,}5143$ · Grupo B y No sabe: $2{,}3429$

3. Buscamos las que no cumplen. Grupo A y No sabe: $2{,}6571$ · Grupo B y No sabe: $2{,}3429$ , que no llegan a $5$ .

4. Decidimos. La condición no se cumple, así que el resultado del test no es confiable.

5. Vemos qué se puede hacer. Agrupar la categoría problemática con otra, si tiene sentido temático, o conseguir más datos. Juntar «No» con «No sabe» en una sola categoría resolvería el problema y dejaría una tabla de $2$ por $2$ .

6. Por qué la condición importa. Con esperadas muy chicas, el denominador de un término se vuelve minúsculo y ese término domina el estadístico, que deja de seguir la distribución chi cuadrado.

Respuesta: No se cumple: la esperada de Grupo A y No sabe vale $2{,}6571$ ; la esperada de Grupo B y No sabe vale $2{,}3429$

5. Se cruzó el turno de cursada con la aprobación del final en $215$ casos: Mañana y Aprueba: $35$ · Mañana y No aprueba: $40$ · Tarde y Aprueba: $35$ · Tarde y No aprueba: $65$ · Noche y Aprueba: $20$ · Noche y No aprueba: $20$ . Calculá las frecuencias esperadas bajo la hipótesis de independencia.

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1. Planteamos la hipótesis nula. $H_0$ : las dos variables son independientes. Bajo esa hipótesis se calcula cuántos casos se esperarían en cada casillero.

2. Calculamos los totales marginales. Filas: Mañana: $75$ ; Tarde: $100$ ; Noche: $40$ . Columnas: Aprueba: $90$ ; No aprueba: $125$ . Total: $215$ .

3. Escribimos la fórmula de la esperada. $E_{ij} = \dfrac{\text{total de la fila} \cdot \text{total de la columna}}{\text{total general}}$

4. Calculamos una a modo de ejemplo. Para Mañana y No aprueba: $E = \dfrac{75 \cdot 125}{215} \approx 43{,}6047$ .

5. Calculamos todas. Mañana y Aprueba: $31{,}3953$ · Mañana y No aprueba: $43{,}6047$ · Tarde y Aprueba: $41{,}8605$ · Tarde y No aprueba: $58{,}1395$ · Noche y Aprueba: $16{,}7442$ · Noche y No aprueba: $23{,}2558$

6. Verificamos. Las esperadas suman $215$ , igual que las observadas. Los totales marginales se conservan: eso es lo que hace la construcción.

Respuesta: Por ejemplo, $E$ para Mañana y No aprueba vale $43{,}6047$ ; todas se calculan igual

6. Se cruzó el turno de cursada con la aprobación del final en $300$ casos: Mañana y Aprueba: $30$ · Mañana y No aprueba: $20$ · Tarde y Aprueba: $65$ · Tarde y No aprueba: $35$ · Noche y Aprueba: $70$ · Noche y No aprueba: $80$ . Calculá el estadístico chi cuadrado.

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1. Calculamos las frecuencias esperadas. $27{,}5$ · $22{,}5$ · $55$ · $45$ · $82{,}5$ · $67{,}5$ , cada una como total de fila por total de columna sobre el total general.

2. Escribimos el estadístico. $\chi^{2} = \sum \dfrac{(O - E)^{2}}{E}$ , sumando sobre todas las celdas.

3. Calculamos el aporte de cada celda. $\dfrac{(30 - 27{,}5)^{2}}{27{,}5} = 0{,}2273$ · $\dfrac{(20 - 22{,}5)^{2}}{22{,}5} = 0{,}2778$ · $\dfrac{(65 - 55)^{2}}{55} = 1{,}8182$ · $\dfrac{(35 - 45)^{2}}{45} = 2{,}2222$ · $\dfrac{(70 - 82{,}5)^{2}}{82{,}5} = 1{,}8939$ · $\dfrac{(80 - 67{,}5)^{2}}{67{,}5} = 2{,}3148$

4. Sumamos. $\chi^{2} = 8{,}7542$

5. Damos los grados de libertad. $(f - 1)(c - 1) = (3 - 1)(2 - 1) = 2$ .

6. Interpretamos el tamaño del estadístico. Mide cuánto se apartan las observadas de las esperadas. Si las variables fueran independientes, el estadístico rondaría los $2$ grados de libertad; acá vale $8{,}7542$ .

Respuesta: $\chi^{2} = 8{,}7542$ con $2$ grados de libertad

7. Al cruzar la región con el medio de pago elegido en $310$ casos se obtuvo $\chi^{2} = 46{,}7969$ , sobre una tabla de $3$ filas y $2$ columnas. De tabla, el valor crítico al $5\%$ con esos grados de libertad es $5{,}9915$ . Completá el test y escribí la conclusión.

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1. Planteamos las hipótesis. $H_0$ : las dos variables son independientes. $H_1$ : están relacionadas.

2. Calculamos los grados de libertad. $(f - 1)(c - 1) = (3 - 1)(2 - 1) = 2$ . No dependen de la cantidad de casos sino del tamaño de la tabla.

3. Ubicamos la zona de rechazo. El test es siempre de cola derecha: se rechaza si el estadístico supera $5{,}9915$ . Valores grandes indican que las observadas se apartan mucho de las esperadas.

4. Comparamos. $46{,}7969$ supera a $5{,}9915$ .

5. Decidimos. Se rechaza la independencia: hay evidencia de que las dos variables están relacionadas.

6. Marcamos qué no dice el test. Ni la dirección ni la fuerza de la relación. Para eso hay que mirar en qué celdas la observada se apartó más de la esperada.

Respuesta: $\chi^{2} = 46{,}7969$ contra $5{,}9915$ con $2$ grados: se rechaza la independencia

8. Se armó una tabla de contingencia de $199$ casos: Grupo A y Sí: $50$ · Grupo A y No: $35$ · Grupo A y No sabe: $2$ · Grupo B y Sí: $55$ · Grupo B y No: $55$ · Grupo B y No sabe: $2$ . Verificá si se cumple la condición para aplicar el test chi cuadrado.

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1. Escribimos la condición. El test es una aproximación, y para que valga hace falta que las frecuencias esperadas no sean demasiado chicas. La regla habitual pide que todas superen $5$ .

2. Calculamos las esperadas. Grupo A y Sí: $45{,}9045$ · Grupo A y No: $39{,}3467$ · Grupo A y No sabe: $1{,}7487$ · Grupo B y Sí: $59{,}0955$ · Grupo B y No: $50{,}6533$ · Grupo B y No sabe: $2{,}2513$

3. Buscamos las que no cumplen. Grupo A y No sabe: $1{,}7487$ · Grupo B y No sabe: $2{,}2513$ , que no llegan a $5$ .

4. Decidimos. La condición no se cumple, así que el resultado del test no es confiable.

5. Vemos qué se puede hacer. Agrupar la categoría problemática con otra, si tiene sentido temático, o conseguir más datos. Juntar «No» con «No sabe» en una sola categoría resolvería el problema y dejaría una tabla de $2$ por $2$ .

6. Por qué la condición importa. Con esperadas muy chicas, el denominador de un término se vuelve minúsculo y ese término domina el estadístico, que deja de seguir la distribución chi cuadrado.

Respuesta: No se cumple: la esperada de Grupo A y No sabe vale $1{,}7487$ ; la esperada de Grupo B y No sabe vale $2{,}2513$

9. Se cruzó el nivel educativo con la preferencia de marca en $335$ casos: Primario y Marca A: $50$ · Primario y Marca B: $70$ · Secundario y Marca A: $50$ · Secundario y Marca B: $55$ · Universitario y Marca A: $40$ · Universitario y Marca B: $70$ . Calculá las frecuencias esperadas bajo la hipótesis de independencia.

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1. Planteamos la hipótesis nula. $H_0$ : las dos variables son independientes. Bajo esa hipótesis se calcula cuántos casos se esperarían en cada casillero.

2. Calculamos los totales marginales. Filas: Primario: $120$ ; Secundario: $105$ ; Universitario: $110$ . Columnas: Marca A: $140$ ; Marca B: $195$ . Total: $335$ .

3. Escribimos la fórmula de la esperada. $E_{ij} = \dfrac{\text{total de la fila} \cdot \text{total de la columna}}{\text{total general}}$

4. Calculamos una a modo de ejemplo. Para Secundario y Marca A: $E = \dfrac{105 \cdot 140}{335} \approx 43{,}8806$ .

5. Calculamos todas. Primario y Marca A: $50{,}1493$ · Primario y Marca B: $69{,}8507$ · Secundario y Marca A: $43{,}8806$ · Secundario y Marca B: $61{,}1194$ · Universitario y Marca A: $45{,}9701$ · Universitario y Marca B: $64{,}0299$

6. Verificamos. Las esperadas suman $335$ , igual que las observadas. Los totales marginales se conservan: eso es lo que hace la construcción.

Respuesta: Por ejemplo, $E$ para Secundario y Marca A vale $43{,}8806$ ; todas se calculan igual

10. Se cruzó el nivel educativo con la preferencia de marca en $270$ casos: Primario y Marca A: $50$ · Primario y Marca B: $45$ · Secundario y Marca A: $25$ · Secundario y Marca B: $55$ · Universitario y Marca A: $25$ · Universitario y Marca B: $70$ . Calculá el estadístico chi cuadrado.

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1. Calculamos las frecuencias esperadas. $35{,}1852$ · $59{,}8148$ · $29{,}6296$ · $50{,}3704$ · $35{,}1852$ · $59{,}8148$ , cada una como total de fila por total de columna sobre el total general.

2. Escribimos el estadístico. $\chi^{2} = \sum \dfrac{(O - E)^{2}}{E}$ , sumando sobre todas las celdas.

3. Calculamos el aporte de cada celda. $\dfrac{(50 - 35{,}1852)^{2}}{35{,}1852} = 6{,}2378$ · $\dfrac{(45 - 59{,}8148)^{2}}{59{,}8148} = 3{,}6693$ · $\dfrac{(25 - 29{,}6296)^{2}}{29{,}6296} = 0{,}7234$ · $\dfrac{(55 - 50{,}3704)^{2}}{50{,}3704} = 0{,}4255$ · $\dfrac{(25 - 35{,}1852)^{2}}{35{,}1852} = 2{,}9483$ · $\dfrac{(70 - 59{,}8148)^{2}}{59{,}8148} = 1{,}7343$

4. Sumamos. $\chi^{2} = 15{,}7387$

5. Damos los grados de libertad. $(f - 1)(c - 1) = (3 - 1)(2 - 1) = 2$ .

6. Interpretamos el tamaño del estadístico. Mide cuánto se apartan las observadas de las esperadas. Si las variables fueran independientes, el estadístico rondaría los $2$ grados de libertad; acá vale $15{,}7387$ .

Respuesta: $\chi^{2} = 15{,}7387$ con $2$ grados de libertad

11. Al cruzar el turno de cursada con la aprobación del final en $375$ casos se obtuvo $\chi^{2} = 11{,}9725$ , sobre una tabla de $3$ filas y $2$ columnas. De tabla, el valor crítico al $5\%$ con esos grados de libertad es $5{,}9915$ . Completá el test y escribí la conclusión.

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1. Planteamos las hipótesis. $H_0$ : las dos variables son independientes. $H_1$ : están relacionadas.

2. Calculamos los grados de libertad. $(f - 1)(c - 1) = (3 - 1)(2 - 1) = 2$ . No dependen de la cantidad de casos sino del tamaño de la tabla.

3. Ubicamos la zona de rechazo. El test es siempre de cola derecha: se rechaza si el estadístico supera $5{,}9915$ . Valores grandes indican que las observadas se apartan mucho de las esperadas.

4. Comparamos. $11{,}9725$ supera a $5{,}9915$ .

5. Decidimos. Se rechaza la independencia: hay evidencia de que las dos variables están relacionadas.

6. Marcamos qué no dice el test. Ni la dirección ni la fuerza de la relación. Para eso hay que mirar en qué celdas la observada se apartó más de la esperada.

Respuesta: $\chi^{2} = 11{,}9725$ contra $5{,}9915$ con $2$ grados: se rechaza la independencia

12. Se armó una tabla de contingencia de $175$ casos: Grupo A y Sí: $50$ · Grupo A y No: $30$ · Grupo A y No sabe: $3$ · Grupo B y Sí: $35$ · Grupo B y No: $55$ · Grupo B y No sabe: $2$ . Verificá si se cumple la condición para aplicar el test chi cuadrado.

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1. Escribimos la condición. El test es una aproximación, y para que valga hace falta que las frecuencias esperadas no sean demasiado chicas. La regla habitual pide que todas superen $5$ .

2. Calculamos las esperadas. Grupo A y Sí: $40{,}3143$ · Grupo A y No: $40{,}3143$ · Grupo A y No sabe: $2{,}3714$ · Grupo B y Sí: $44{,}6857$ · Grupo B y No: $44{,}6857$ · Grupo B y No sabe: $2{,}6286$

3. Buscamos las que no cumplen. Grupo A y No sabe: $2{,}3714$ · Grupo B y No sabe: $2{,}6286$ , que no llegan a $5$ .

4. Decidimos. La condición no se cumple, así que el resultado del test no es confiable.

5. Vemos qué se puede hacer. Agrupar la categoría problemática con otra, si tiene sentido temático, o conseguir más datos. Juntar «No» con «No sabe» en una sola categoría resolvería el problema y dejaría una tabla de $2$ por $2$ .

6. Por qué la condición importa. Con esperadas muy chicas, el denominador de un término se vuelve minúsculo y ese término domina el estadístico, que deja de seguir la distribución chi cuadrado.

Respuesta: No se cumple: la esperada de Grupo A y No sabe vale $2{,}3714$ ; la esperada de Grupo B y No sabe vale $2{,}6286$