Ejercicios: Análisis de la varianza

1. Se comparó la cantidad de piezas por turno en tres máquinas, con $4$ observaciones por grupo. Grupo $1$ : $76$ ; $77$ ; $78$ ; $78$ · Grupo $2$ : $84$ ; $81$ ; $83$ ; $79$ · Grupo $3$ : $87$ ; $86$ ; $83$ ; $87$ . Descomponé la variabilidad y calculá el estadístico $F$ .

Ver solución

1. Calculamos las medias. $\bar{x}_1 = 77{,}25$ · $\bar{x}_2 = 81{,}75$ · $\bar{x}_3 = 85{,}75$ · media general $\bar{x} = 81{,}5833$ .

2. Calculamos la variabilidad entre grupos. $SCE = \sum n_i (\bar{x}_i - \bar{x})^{2} = 144{,}6667$ : mide cuánto se separan los promedios de los grupos entre sí.

3. Calculamos la variabilidad dentro de los grupos. $SCD = \sum (x_{ij} - \bar{x}_i)^{2} = 28{,}25$ : es el ruido interno de cada grupo.

4. Calculamos los cuadrados medios. $CME = \dfrac{144{,}6667}{3 - 1} \approx 72{,}3333$ y $CMD = \dfrac{28{,}25}{12 - 3} \approx 3{,}1389$ .

5. Calculamos el estadístico. $F = \dfrac{CME}{CMD} = \dfrac{72{,}3333}{3{,}1389} \approx 23{,}0442$ , con $2$ y $9$ grados de libertad.

6. Interpretamos la lógica. Se compara la separación entre promedios contra el ruido interno. Si la primera domina, las medias difieren; si el ruido domina, las diferencias observadas pueden ser azar.

Respuesta: $SCE = 144{,}6667$ , $SCD = 28{,}25$ y $F = 23{,}0442$ con $2$ y $9$ grados de libertad

2. En un análisis de la varianza que compara el rendimiento por parcela en tres fertilizantes, con $4$ casos por grupo, se obtuvo $SCE = 16{,}1667$ y $SCD = 56{,}5$ . De tabla, $F_{0{,}95}(2; 9) = 4{,}2565$ . Armá la tabla del análisis y decidí al $5\%$ .

Ver solución

1. Planteamos las hipótesis. $H_0$ : $\mu_1 = \mu_2 = \mu_3$ contra $H_1$ : al menos una media difiere de las otras.

2. Armamos las filas de la tabla. Entre grupos: $SCE = 16{,}1667$ con $2$ grados. Dentro: $SCD = 56{,}5$ con $9$ grados. Total: $SCT = 72{,}6667$ con $11$ grados.

3. Verificamos la descomposición. $16{,}1667 + 56{,}5 = 72{,}6667$ , y $2 + 9 = 11$ : las sumas de cuadrados y los grados de libertad cierran.

4. Calculamos los cuadrados medios y el estadístico. $CME = 8{,}0833$ , $CMD = 6{,}2778$ y $F = 1{,}2876$ .

5. Decidimos. $1{,}2876$ no supera a $4{,}2565$ , así que no se rechaza la igualdad de medias.

6. Escribimos la conclusión con cuidado. No hay evidencia de que las medias difieran.

Respuesta: $F = 1{,}2876$ contra $4{,}2565$ : no se rechaza la igualdad de medias

3. Se quieren comparar las medias de $5$ grupos. Alguien propone hacer todos los tests de a pares al $5\%$ en vez de un análisis de la varianza. Calculá cuántos tests serían y qué probabilidad habría de al menos un falso positivo.

Ver solución

1. Contamos los tests de a pares. $C_{5,2} = \dfrac{5 \cdot 4}{2} = 10$ comparaciones.

2. Escribimos la probabilidad de no equivocarse en uno. Si las medias fueran todas iguales, cada test no rechaza con probabilidad $1 - 0{,}05 = 0{,}95$ .

3. Calculamos la probabilidad de no equivocarse en ninguno. Suponiendo los tests aproximadamente independientes: $0{,}95^{10} \approx 0{,}5987$ .

4. Calculamos la probabilidad de al menos un falso positivo. $1 - 0{,}5987 = 0{,}4013$ , o sea un $40{,}13\%$ .

5. Comparamos con el nivel buscado. Se quería trabajar al $5\%$ y el nivel real del conjunto es del $40{,}13\%$ : muchísimo más alto de lo declarado.

6. Por qué el análisis de la varianza resuelve esto. Hace una sola prueba global con un solo $\alpha$ , así que el nivel se controla de verdad. Si esa prueba rechaza, recién ahí se hacen comparaciones posteriores con el nivel corregido.

Respuesta: Serían $10$ tests, con un $40{,}13\%$ de probabilidad de al menos un falso positivo en vez del $5\%$ declarado

4. En un análisis de la varianza que compara la demora de entrega en $5$ grupos con $8$ observaciones cada uno, dá los grados de libertad de cada fila de la tabla y verificá que cierren.

Ver solución

1. Contamos el total de observaciones. $N = 5 \cdot 8 = 40$ .

2. Damos los grados de libertad entre grupos. $k - 1 = 5 - 1 = 4$ . Se pierde uno porque los desvíos de las medias de grupo se miden respecto de la media general, que sale de esos mismos datos.

3. Damos los de dentro de los grupos. $N - k = 40 - 5 = 35$ . Dentro de cada grupo se pierde un grado por usar la media del grupo, y son $5$ grupos.

4. Damos los del total. $N - 1 = 39$ .

5. Verificamos que cierren. $4 + 35 = 39$ . La descomposición de los grados de libertad acompaña a la de las sumas de cuadrados.

6. Escribimos el estadístico con sus parámetros. $F$ con $4$ grados en el numerador y $35$ en el denominador. El orden no se puede invertir.

Respuesta: Entre grupos $4$ , dentro $35$ y total $39$ , y $4 + 35 = 39$

5. Se comparó la demora de entrega en tres proveedores, con $4$ observaciones por grupo. Grupo $1$ : $83$ ; $76$ ; $79$ ; $77$ · Grupo $2$ : $88$ ; $93$ ; $88$ ; $91$ · Grupo $3$ : $92$ ; $85$ ; $91$ ; $85$ . Descomponé la variabilidad y calculá el estadístico $F$ .

Ver solución

1. Calculamos las medias. $\bar{x}_1 = 78{,}75$ · $\bar{x}_2 = 90$ · $\bar{x}_3 = 88{,}25$ · media general $\bar{x} = 85{,}6667$ .

2. Calculamos la variabilidad entre grupos. $SCE = \sum n_i (\bar{x}_i - \bar{x})^{2} = 293{,}1667$ : mide cuánto se separan los promedios de los grupos entre sí.

3. Calculamos la variabilidad dentro de los grupos. $SCD = \sum (x_{ij} - \bar{x}_i)^{2} = 89{,}5$ : es el ruido interno de cada grupo.

4. Calculamos los cuadrados medios. $CME = \dfrac{293{,}1667}{3 - 1} \approx 146{,}5833$ y $CMD = \dfrac{89{,}5}{12 - 3} \approx 9{,}9444$ .

5. Calculamos el estadístico. $F = \dfrac{CME}{CMD} = \dfrac{146{,}5833}{9{,}9444} \approx 14{,}7402$ , con $2$ y $9$ grados de libertad.

6. Interpretamos la lógica. Se compara la separación entre promedios contra el ruido interno. Si la primera domina, las medias difieren; si el ruido domina, las diferencias observadas pueden ser azar.

Respuesta: $SCE = 293{,}1667$ , $SCD = 89{,}5$ y $F = 14{,}7402$ con $2$ y $9$ grados de libertad

6. En un análisis de la varianza que compara la demora de entrega en tres proveedores, con $4$ casos por grupo, se obtuvo $SCE = 228{,}6667$ y $SCD = 77$ . De tabla, $F_{0{,}95}(2; 9) = 4{,}2565$ . Armá la tabla del análisis y decidí al $5\%$ .

Ver solución

1. Planteamos las hipótesis. $H_0$ : $\mu_1 = \mu_2 = \mu_3$ contra $H_1$ : al menos una media difiere de las otras.

2. Armamos las filas de la tabla. Entre grupos: $SCE = 228{,}6667$ con $2$ grados. Dentro: $SCD = 77$ con $9$ grados. Total: $SCT = 305{,}6667$ con $11$ grados.

3. Verificamos la descomposición. $228{,}6667 + 77 = 305{,}6667$ , y $2 + 9 = 11$ : las sumas de cuadrados y los grados de libertad cierran.

4. Calculamos los cuadrados medios y el estadístico. $CME = 114{,}3333$ , $CMD = 8{,}5556$ y $F = 13{,}3636$ .

5. Decidimos. $13{,}3636$ supera a $4{,}2565$ , así que se rechaza la igualdad de medias.

6. Escribimos la conclusión con cuidado. Hay evidencia de que al menos una media difiere. El test no dice cuál: para eso hacen falta comparaciones posteriores con el nivel corregido.

Respuesta: $F = 13{,}3636$ contra $4{,}2565$ : se rechaza la igualdad de medias

7. Se quieren comparar las medias de $3$ grupos. Alguien propone hacer todos los tests de a pares al $5\%$ en vez de un análisis de la varianza. Calculá cuántos tests serían y qué probabilidad habría de al menos un falso positivo.

Ver solución

1. Contamos los tests de a pares. $C_{3,2} = \dfrac{3 \cdot 2}{2} = 3$ comparaciones.

2. Escribimos la probabilidad de no equivocarse en uno. Si las medias fueran todas iguales, cada test no rechaza con probabilidad $1 - 0{,}05 = 0{,}95$ .

3. Calculamos la probabilidad de no equivocarse en ninguno. Suponiendo los tests aproximadamente independientes: $0{,}95^{3} \approx 0{,}8574$ .

4. Calculamos la probabilidad de al menos un falso positivo. $1 - 0{,}8574 = 0{,}1426$ , o sea un $14{,}26\%$ .

5. Comparamos con el nivel buscado. Se quería trabajar al $5\%$ y el nivel real del conjunto es del $14{,}26\%$ : muchísimo más alto de lo declarado.

6. Por qué el análisis de la varianza resuelve esto. Hace una sola prueba global con un solo $\alpha$ , así que el nivel se controla de verdad. Si esa prueba rechaza, recién ahí se hacen comparaciones posteriores con el nivel corregido.

Respuesta: Serían $3$ tests, con un $14{,}26\%$ de probabilidad de al menos un falso positivo en vez del $5\%$ declarado

8. En un análisis de la varianza que compara el puntaje del examen en $3$ grupos con $6$ observaciones cada uno, dá los grados de libertad de cada fila de la tabla y verificá que cierren.

Ver solución

1. Contamos el total de observaciones. $N = 3 \cdot 6 = 18$ .

2. Damos los grados de libertad entre grupos. $k - 1 = 3 - 1 = 2$ . Se pierde uno porque los desvíos de las medias de grupo se miden respecto de la media general, que sale de esos mismos datos.

3. Damos los de dentro de los grupos. $N - k = 18 - 3 = 15$ . Dentro de cada grupo se pierde un grado por usar la media del grupo, y son $3$ grupos.

4. Damos los del total. $N - 1 = 17$ .

5. Verificamos que cierren. $2 + 15 = 17$ . La descomposición de los grados de libertad acompaña a la de las sumas de cuadrados.

6. Escribimos el estadístico con sus parámetros. $F$ con $2$ grados en el numerador y $15$ en el denominador. El orden no se puede invertir.

Respuesta: Entre grupos $2$ , dentro $15$ y total $17$ , y $2 + 15 = 17$

9. Se comparó el puntaje del examen en tres métodos de enseñanza, con $4$ observaciones por grupo. Grupo $1$ : $73$ ; $66$ ; $72$ ; $73$ · Grupo $2$ : $71$ ; $75$ ; $73$ ; $75$ · Grupo $3$ : $84$ ; $84$ ; $79$ ; $81$ . Descomponé la variabilidad y calculá el estadístico $F$ .

Ver solución

1. Calculamos las medias. $\bar{x}_1 = 71$ · $\bar{x}_2 = 73{,}5$ · $\bar{x}_3 = 82$ · media general $\bar{x} = 75{,}5$ .

2. Calculamos la variabilidad entre grupos. $SCE = \sum n_i (\bar{x}_i - \bar{x})^{2} = 266$ : mide cuánto se separan los promedios de los grupos entre sí.

3. Calculamos la variabilidad dentro de los grupos. $SCD = \sum (x_{ij} - \bar{x}_i)^{2} = 63$ : es el ruido interno de cada grupo.

4. Calculamos los cuadrados medios. $CME = \dfrac{266}{3 - 1} = 133$ y $CMD = \dfrac{63}{12 - 3} = 7$ .

5. Calculamos el estadístico. $F = \dfrac{CME}{CMD} = \dfrac{133}{7} = 19$ , con $2$ y $9$ grados de libertad.

6. Interpretamos la lógica. Se compara la separación entre promedios contra el ruido interno. Si la primera domina, las medias difieren; si el ruido domina, las diferencias observadas pueden ser azar.

Respuesta: $SCE = 266$ , $SCD = 63$ y $F = 19$ con $2$ y $9$ grados de libertad

10. En un análisis de la varianza que compara la cantidad de piezas por turno en tres máquinas, con $4$ casos por grupo, se obtuvo $SCE = 625{,}1667$ y $SCD = 21{,}75$ . De tabla, $F_{0{,}95}(2; 9) = 4{,}2565$ . Armá la tabla del análisis y decidí al $5\%$ .

Ver solución

1. Planteamos las hipótesis. $H_0$ : $\mu_1 = \mu_2 = \mu_3$ contra $H_1$ : al menos una media difiere de las otras.

2. Armamos las filas de la tabla. Entre grupos: $SCE = 625{,}1667$ con $2$ grados. Dentro: $SCD = 21{,}75$ con $9$ grados. Total: $SCT = 646{,}9167$ con $11$ grados.

3. Verificamos la descomposición. $625{,}1667 + 21{,}75 = 646{,}9167$ , y $2 + 9 = 11$ : las sumas de cuadrados y los grados de libertad cierran.

4. Calculamos los cuadrados medios y el estadístico. $CME = 312{,}5833$ , $CMD = 2{,}4167$ y $F = 129{,}3448$ .

5. Decidimos. $129{,}3448$ supera a $4{,}2565$ , así que se rechaza la igualdad de medias.

6. Escribimos la conclusión con cuidado. Hay evidencia de que al menos una media difiere. El test no dice cuál: para eso hacen falta comparaciones posteriores con el nivel corregido.

Respuesta: $F = 129{,}3448$ contra $4{,}2565$ : se rechaza la igualdad de medias

11. Se quieren comparar las medias de $4$ grupos. Alguien propone hacer todos los tests de a pares al $5\%$ en vez de un análisis de la varianza. Calculá cuántos tests serían y qué probabilidad habría de al menos un falso positivo.

Ver solución

1. Contamos los tests de a pares. $C_{4,2} = \dfrac{4 \cdot 3}{2} = 6$ comparaciones.

2. Escribimos la probabilidad de no equivocarse en uno. Si las medias fueran todas iguales, cada test no rechaza con probabilidad $1 - 0{,}05 = 0{,}95$ .

3. Calculamos la probabilidad de no equivocarse en ninguno. Suponiendo los tests aproximadamente independientes: $0{,}95^{6} \approx 0{,}7351$ .

4. Calculamos la probabilidad de al menos un falso positivo. $1 - 0{,}7351 = 0{,}2649$ , o sea un $26{,}49\%$ .

5. Comparamos con el nivel buscado. Se quería trabajar al $5\%$ y el nivel real del conjunto es del $26{,}49\%$ : muchísimo más alto de lo declarado.

6. Por qué el análisis de la varianza resuelve esto. Hace una sola prueba global con un solo $\alpha$ , así que el nivel se controla de verdad. Si esa prueba rechaza, recién ahí se hacen comparaciones posteriores con el nivel corregido.

Respuesta: Serían $6$ tests, con un $26{,}49\%$ de probabilidad de al menos un falso positivo en vez del $5\%$ declarado

12. En un análisis de la varianza que compara el rendimiento por parcela en $5$ grupos con $5$ observaciones cada uno, dá los grados de libertad de cada fila de la tabla y verificá que cierren.

Ver solución

1. Contamos el total de observaciones. $N = 5 \cdot 5 = 25$ .

2. Damos los grados de libertad entre grupos. $k - 1 = 5 - 1 = 4$ . Se pierde uno porque los desvíos de las medias de grupo se miden respecto de la media general, que sale de esos mismos datos.

3. Damos los de dentro de los grupos. $N - k = 25 - 5 = 20$ . Dentro de cada grupo se pierde un grado por usar la media del grupo, y son $5$ grupos.

4. Damos los del total. $N - 1 = 24$ .

5. Verificamos que cierren. $4 + 20 = 24$ . La descomposición de los grados de libertad acompaña a la de las sumas de cuadrados.

6. Escribimos el estadístico con sus parámetros. $F$ con $4$ grados en el numerador y $20$ en el denominador. El orden no se puede invertir.

Respuesta: Entre grupos $4$ , dentro $20$ y total $24$ , y $4 + 20 = 24$